|
|
|
Аппроксимация функций.
Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:
1) аналитический
2) графический
3) табличный
Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.
Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.
Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию ?(ч) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.
?(х)- аппроксимирующая функция.
Интерполяция (частный случай аппроксимации)
Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x0 f(x0) требуется построить аппроксимирующюю функцию (x) совпадающую в узлах с xi c заданной, то такой способ называется интерполяцией
При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид
(x)=pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0
В данном многочлене необходимо найти коэффициенты an ,an-1, …a0 , так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:
Pn(xi)=yi i=0,1,…n
Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа Ln(x).
ij
В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией .
Задание
С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение функции y в точке xc, узлы интерполяции расположены равномерно с шагом х=4,1 начиная с точки х0=1,3 даны значения функции y={-6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27}.
ГСА для данного метода
CLS
DIM Y(9)
DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27
X0=1.3: H=4.1: N=10: XC=10
FOR I=0 TO N - 1
1 X(I)=X0 + H * I
READ Y(I)
PRINT Y(I); X(I)
NEXT I
S1=0: S2=0: S3=0: S4=0
FOR I=0 TO N - 1
2 S1=S1 + X(I) ^ 2
S2=S2 + X(I)
S3=S3 + X(I) * Y(I)
S4=S4 + Y(I)
NEXT I
D=S1 * N - S2 ^ 2
D1=S3 * N - S4 * S2
D0=S1 * S4 - S3 * S2
A1=D1 / D: A0=D0 / D
YC=A1 * XC + A0
PRINT "A0="; A0, "A1="; A1, "YC="; YC
FOR X=0 TO 50 STEP 10
Y=A1 * X + A0
PRINT X, Y
NEXT X
END
XC=10
Х Y
1.3 -6.56
5.4 -3.77
9.5 -1.84
13.6 .1
17.7 2.29
21.8 4.31
25.9 5.86
30 8.82
34.1 11.33
38.2 11.27
S=-1.594203
АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.
В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (xi,yi), i=0,1,2,...n, где n - общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, полином), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации.
Графическая интерпретация аппроксимации.
Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием точности или достаточно "хорошего"
приближения могут служить несколько условий.
Обозначим через fi значение, вычисленное из функциональной зависимости для x=xi и сопоставляемое с yi.
Одно из условий согласования можно записать как
S=(fi-yi) ® min ,
т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=xi должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается.
Использование критерия S=|fi-yi| ® min , также не приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума.
Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость, при которойS=(fi-yi)2 , (1)
обращается в минимум.
В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен
f(x)=C0 + C1X + C2X2+...+CMXM. (2)
Формула (1) примет вид S=( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - Yi ) 2
Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменным С0,С1,...СМ :
SC0=2 ( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - Yi )=0 ,
SC1=2 ( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - yi ) Xi=0 ,
................................................................................................. (3)
SCM=2 ( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - Yi ) XiM=0 ,
Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений
C0 (N+1) + C1 Xi + C2Xi2 +...+ CM XiM=Yi ,
C0Xi + C1Xi2 + C2Xi3 +...+ CMXiM+1=Yi Xi ,
....................................................................................................... (4)
C0XiM + C1XiM+1 + C2XiM+2 +...+ CMXi2M=Yi XiM .
Для определения коэффициентов Сi и, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.
(N+1)XiXi2...XiMYiXiXi2Xi3...XiM+1Yi Xi..................XiMXiM+1XiM+2...Xi2MYi XiM Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического присвоения.
ЗаданиеНайти коэффициенты прямой и определить значение функции y{-6.56,-3.77, -1.84,0.1,2.29,4.31,5.56,8.82,11.33,11.27}, x0=1.3 h=4.1, и определить интеграл заданной функции.
Программа
¦CLS
¦XC=10: X0=1.3: H=4.1: N=10
¦DIM Y(9): DIM X(9)
¦DATA -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27
¦FOR I=0 TO N - 1
¦X=X0 + H * I:
¦X(I)=X
¦READ Y(I)
¦PRINT X(I), Y(I)
¦NEXT I
¦S1=0: S2=0: S3=0: S4=0
¦I=0
¦10 S1=S1 + X(I) ^ 2:
¦S2=S2 + X(I):
¦S3=S3 + X(I) * Y(I):
¦S4=S4 + Y(I)
¦I=I + 1
¦IF I <=N - 1 THEN 10
¦D=S1 * N - S2 ^ 2:
¦D1=S3 * N - S2 * S4:
¦D0=S1 * S4 - S2 * S3
¦A1=D1 / D:
¦A0=D0 / D
¦Y=A1 * XC + A0
¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0="; A0,
¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1="; A1,
¦PRINT TAB(2); "ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y="; Y
¦FOR X=10 TO 50 STEP 10
¦Y=A1 * X + AO
¦PRINT X, Y
¦NEXT X
¦FOR I=1 TO N - 1
¦S=S + Y(I): NEXT I
¦D=H / 2 * (Y(0) + Y(N - 1) + 2 * S)
¦PRINT "ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D="; D
Ответы
Х Y
1.3 -6.56
5.4 -3.77
9.5 -1.84
13.6 .1
17.7 2.29
21.8 4.31
25.9 5.86
30 8.82
34.1 11.33
38.2 11.27
КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0=-6.709182
КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1=.5007687
ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y=-1.701495
10 5.007687
1 2
|
|
|
|
 |
НА САЙТЕ: |
 |
, ,
|
|
