|
|
|
Курсовая работа по численным методам |
|
1. Методом Крылова развернуть характеристический определитель матрицы А=. Исходную систему линейных уравнений решить методом Жордана-Гаусса.
Решение. Метод Крылова основан на свойстве квадратной матрицы обращать в нуль свой характеристический многочлен.
Согласно теореме Гамильтона-Кали, всякая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена и, следовательно, обращает его в нуль.
Пусть
(1)
характеристический многочлен.
Заменяя в выражении (1) величину на , получим
. (2)
Возьмем произвольный ненулевой вектор
. (3)
Умножим обе части выражения (2) на :
(4)
Положим
, (5)
т.е.
(6)
Учитывая (5), выражение (4) запишем в виде
, (7)
или в виде
Решаем систему (7). Если эта система имеет единственное решение, то ее корни являются коэффициентами характеристического многочлена (1).
Если известны коэффициенты и корни характеристического многочлена, то метод Крылова дает возможность найти соответствующие собственные векторы по следующей формуле:
(8)
Здесь векторы, использованные при нахождении коэффициентов методом Крылова, а коэффициенты определяются по схеме Горнера
(9)
Используя все выше сказанное, развернем характеристический определитель матрицы А=методом Крылова.
Выберем в качестве начального следующий вектор:
,
Вычислим
Составим матричное уравнение
, или
Полученную систему уравнений решим методом Жордана-Гаусса.
1920-72-61-61-110-3-3-33051-167-131-131212/90-8-61/9-61/9011/90-11-88/9-88/90-15/91657/9651/9651/93100-6-5-5010-9-8-80015859594100010001Исходя из результатов таблицы, имеем .
Таким образом характеристическое уравнение матрицы имеет вид
2. Для определения собственных чисел матрицы необходимо решить полученное характеристическое уравнение третьей степени
Данное кубическое уравнение невозможно решить стандартными средствами. Воспользуемся для этой цели числовыми методами, а точнее методами приближенного вычисления.
2.1 Исследование функции.
Вычислим первую и вторую производные данной функции
Необходимо выбрать интервал, на котором будем находить решение.
Для отделения корней существует несколько способов. Наиболее популярные из них графический и аналитический.
В литературе рассматриваются эти способы по отдельности. По заданию курсовой работы требуется отделить корни каждым из этих способов. Рискну нарушить это требование, и объединить эти два способа в один. То есть исследовать функцию аналитически и по результатам исследования построить приблизительный график функции.
Областью значений исходного уравнения является вся ось .
Приравняв первую производную к нулю, мы можем получить критические точки данной функции (точки минимумов и максимумов, или же точки, в которых функция не определена).
Стоит отметить, что для вычисления квадратного корня, также применимы числовые методы, на которых и основаны микрокалькуляторы и программы для ЭВМ. Данные методы основаны на логарифмировании корня и последующего вычисления.
вычисляется при помощи числового ряда
Уравнение имеет решение , . Изменив знак равенства на знак неравенства (< или >), можем найти промежутки возрастания и убывания функции.
Функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке . Подставив в исходное уравнение значения критических точек, имеем в результате для и для .
Приравняв вторую производную к нулю, мы можем найти точку перегиба и, соответственно, найти интервал, на котором функция выпуклая и вогнутая.
Далее необходимо
найти, интервалы, в которых график функции пересекает ось .
Сразу можно определиться, что так при значение функции больше нуля, а при - меньше нуля, то одна из точек пересечения, будет лежать на данном интервале. Произведя не хитрые математические вычисления значения функции для , сузим интервал до .
Далее рассмотрим оставшиеся два интервала.
Известно, что при - значение функции отрицательно, а в первой критической точке положительно, то будем сужать этот промежуток. В данном случае применим метод половинного деления.
058-100-1059042-50-139492-25-19092-12-2426-6-320-34-5-172-4-664-1010093915850109608251170812814645-12Таким образом получили еще один интервал .
Следующий будет от и до бесконечности.
Произведем аналогичные вычисления и получим промежуток
На основании произведенного анализа построим график исходной функции.
2.2 Метод хорд.
Сразу необходимо заметить, что существуют два случая (варианта) при решении методом хорд.
Случай первый. Первая и вторая производные функции имеют одинаковые знаки, т.е. .
В этом случае итерационный процесс осуществляем по формуле
Случай второй. Первая и вторая производные функции имеют разные знаки, т.е. .
В этом случае итерационный процесс осуществляем по формуле
Для оценки точности приближение можно воспользоваться формулой
,
где при , точное значение корня.
Итак решим наше уравнение методом хорд с точностью .
2.2.1 Интервал .
Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаем работать имеют различные знаки, то работаем по второму варианту.
Результаты вычисления приведены в таблице.
-4,0000000-3,0000000-66,00000004,00000000,0740741-4,0000000-3,1142857-66,0000000-2,36883970,0438674-4,0000000-3,0440850-66,00000001,59017360,0294477-4,0000000-3,0901012-66,0000000-0,98796930,0182957-4,0000000-3,0610770-66,00000000,64565780,0119566-4,0000000-3,0798611-66,0000000-0,40867780,0075681-4,0000000-3,0678974-66,00000000,26407720,0048903-4,0000000-3,0755972-66,0000000-0,16840770,0031187-4,0000000-3,0706743-66,00000000,10831070,0020058-4,0000000-3,0738353-66,0000000-0,06928330,0012830-4,0000000-3,0718112-66,00000000,04447290,0008236-4,0000000-3,0731096-66,0000000-0,02848360,0005275-4,0000000-3,0722776-66,00000000,01826900,0003383-4,0000000-3,0728111-66,0000000-0,01170680,0002168-4,0000000-3,0724692-66,00000000,00750610,0001390-4,0000000-3,0726884-66,0000000-0,00481090,0000891-4,0000000-3,0725479-66,00000000,00308430,0000571-4,0000000-3,0726380-66,0000000-0,00197700,0000366
2.2.2 Интервал .
Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаем работать имеют различные знаки, то работаем по второму варианту.
Результаты вычисления приведены в таблице.
3,00000004,00000004,0000000-10,0000000-0,22222223,00000003,28571434,0000000-0,8746356-0,04859093,00000003,23444984,0000000-0,0423087-0,00235053,00000003,23199594,0000000-0,0019734-0,00010963,00000003,23188154,0000000-0,0000919-0,0000051
2.2.3 Интервал .
Так как первая и вторые производные в точке, от которой мы начинаем работать имеют одинаковые знаки, то работаем по первому варианту.
Результаты вычисления приведены в таблице.
5,00000006,0000000-12,00000004,00000000,66666675,75000006,0000000-2,01562504,00000000,33593755,83376626,0000000-0,16130144,00000000,02688365,84020986,0000000-0,01201984,00000000,00200335,84068856,0000000-0,00089094,00000000,00014855,84072406,0000000-0,00006604,00000000,0000110
Итак, корнями уравнения будут , , .
2.3 Метод касательных (метод Ньютона).
1 2 3 4
|
|
|
|
 |
НА САЙТЕ: |
 |
, ,
|
|
