|
|
|
Краткие теоретические сведения.
Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел ((x,y,z,1) или, более обще, (hx,hy,hz,h), где ). Эта четверка определена однозначно с точностью до общего множителя. Предложенный подход дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных , трехмерных задачах.
Как известно, любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений растяжений, отражений и переносов. Поэтому достаточно подробно описать матрицы только этих последних преобразований.
A. Матрицы вращения в пространстве.
Матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол q:
Матрица вращения вокруг оси ординат на угол w:
Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол x:
Б. Матрица растяжения (сжатия):
здесь a>0 - коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси абсцисс,b>0-коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси ординат,y>0-коэффициент растяжения (сжатия) вдоль оси аппликат.
В. Матрица отражения .
Матрица отражения относительно плоскости xOy:
Матрица отражения относительно плоскости yOz:
Матрица отражения относительно плоскости zOx:
Г. Матрица переноса :
Здесь (r,q,v)-вектор переноса.
Заметим, что, как и в двумерном случае , все выписанные матрицы не вырождены.
Ортографическая проекция - картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей или параллельна ей. Матрица проектирования вдоль оси Х на плоскость YOZ имеет вид
В случае , если плоскость проектирования параллельна координатной плоскости, необходимо умножить матрицу [Px] на матрицу сдвига . Имеем
Аналогично записываются матрицы проектирования вдоль 2-х координатных осей:
Аксонометрическая проекция - проектирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости .
Различают три вида проекций в зависимости от взаимного расположения плоскости проектирования и координатных осей:
- триметрия-нормальный вектор картинной плоскости образует с ортами координатных осей попарно различные углы(рис.15);
- диметрия-два угла между нормалью картинной плоскости и координатными осями равны (рис. 16).
- изометрия-все три угла между нормалью картинной плоскости и координатными осями равны (рис. 17).
Каждый из трех видов указанных проекций получается комбинацией поворотов, за которой следует параллельное проектирование.
Перспективные (центральные) проекции строятся более сложно . Предположим что центр проектирования лежит на оси Z - C (0,0,c) а плоскость проектирования совпадает с координатной плоскостью XOY (рис. 19) . Возьмем в пространстве произвольную точку M(x,y,z), проведем через нее и точку С прямую и запишем ее параметрические уравнения . Имеем:
X`=xt , Y`=yt, Z`=c+(z-c)t
Найдем координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью XOY. Из того , что z`=0, получаем
Тот же самый результат мы получим, привлекая матрицу
В самом деле,
Mатрица проектирования, конечно, вырождена ; матрица же соответствующего перспективного преобразования(без проектирования) имеет следующий вид
Язык С++ предоставляет очень удобные средства, позволяющие заметно упростить работу с векторами и преобразованиями в пространстве.
Рассмотрим реализацию работы с векторами.
// Файл vector.h
#ifndef __VECTOR__#define __VECTOR__#include class Vector{public: double x, y, z; Vector () {};
Vector ( double v ) { x=y=z=v; };
Vector ( const Vector& v ) { x=v.x; y=v.y; z=v.z; };
Vector ( double vx, double vy, double vz ) { x=vx; y=vy; z=vz; };
Vector& operator=( const Vector& v ) { x=v.x; y=v.y; z=v.z;
return *this; }
Vector& operator=( double f ) { x=y=z=f; return *this; };
Vector operator - () const;
Vector& operator +=( const Vector& );
Vector& operator -=( const Vector& );
Vector& operator *=( const Vector& );
Vector& operator *=( double );
Vector& operator /=( double );
friend Vector operator + ( const Vector&, const Vector& );
friend Vector operator - ( const Vector&, const Vector& );
friend Vector operator * ( const Vector&, const Vector& );
friend Vector operator * ( double, const Vector& );
friend Vector operator * ( const Vector&, double );
friend Vector operator / ( const Vector&, double );
friend Vector operator / ( const Vector&, const Vector& );
friend double operator & ( const Vector& u, const Vector& v )
{ return u.x * v.x + u.y * v.y + u.z * v.z; };
friend Vector operator ^ ( const Vector&, const Vector& );
double operator ! () { return (double) sqrt ( x * x + y * y + z * z ); };
double& operator [] ( int n ) { return *( &x + n ); };
int operator < ( double v ) { return x < v && y < v && z < v; };
int operator > ( double v ) { return x > v && y > v && z > v; };
};
class Ray
{
public:
Vector Org;
Vector Dir;
Ray () {};
Ray ( Vector& o, Vector& d ) { Org=o, Dir=d; };
Vector Point ( double t ) { return Org + Dir * t; };
};
inline Vector Vector :: operator - () const
{
return Vector ( -x, -y, -z );
}
inline Vector operator + ( const Vector& u, const Vector& v )
{
return Vector ( u.x + v.x, u.y + v.y, u.z + v.z );
}
inline Vector operator - ( const Vector& u, const Vector& v )
{
return Vector ( u.x - v.x, u.y - v.y, u.z - v.z );
}
inline Vector operator * ( const Vector& u, const Vector& v )
{
return Vector ( u.x * v.x, u.y * v.y, u.z * v.z );
}
inline Vector operator * ( const Vector& u, double f )
{
return Vector ( u.x * f, u.y * f, u.z * f );
}
inline Vector operator * ( double f, const Vector& v )
{
return Vector ( f * v.x, f * v.y, f * v.z );
}
inline Vector operator / ( const Vector& u, const Vector& v )
{
return Vector ( u.x / v.x, u.y / v.y, u.z / v.z );
}
inline Vector operator / ( const Vector& u, double f )
{
return Vector ( u.x / f, u.y / f, u.z / f );
}
inline Vector& Vector :: operator +=( const Vector& v )
{
x +=v.x;
y +=v.y;
z +=v.z;
return *this;
}
inline Vector& Vector :: operator -=( const Vector& v )
{
x -=v.x;
y -=v.y;
z -=v.z;
return *this;
}
inline Vector& Vector :: operator *=( const Vector& v )
{
x *=v.x;
y *=v.y;
z *=v.z;
return *this;
}
inline Vector& Vector :: operator *=( double v )
{
x *=v;
y *=v;
z *=v;
return *this;
}
inline Vector& Vector :: operator /=( double v )
{
x /=v;
y /=v;
z /=v;
return *this;
}
inline Vector Normalize ( Vector& v ) { return v / !v; }
Vector RndVector ();
Vector& Clip ( Vector& v );
#endif
----------------------------------------------------------------------------
// Файл vector.срр
#include
#include
#include "vector.h"
Vector operator ^ ( const Vector& u, const Vector& v )
{
return Vector ( u.y * v.z - u.z * v.y,
u.z
1 2 3 4
|
|
|
|
 |
На сайте: |
, ,
|
