|
|
|
Модель рассеяния электромагнитной волны параллелепипедом из диэлектрика с потерями |
|
Содержание
Введение.........................................................................................................
Основные уравнения.....................................................................................
Фурье-компоненты рассеянной волны......................................................
Уравнения Виннера-Хопфа..........................................................................
Приближенные решения..............................................................................
Примеры расчетов и примеры экспериментов.........................................
Заключение....................................................................................................
МОДЕЛЬ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМ ИЗ ДИЭЛЕКТИКА С ПОТЕРЯМИ.
ВВЕДЕНИЕ.
В настоящей статье изучается задача рассеяния плоской волны параллелепипедом из диэлектрика с потерями, причем считается, что размеры параллелепипеда сравнительно больше по отношению к длине волны. При исследовании используется метод Виннера-Хопфа. А именно, посредством обобщения решения задачи для полубесконечного тела, полученного в работе Джоунса, попытаемся распространить результаты для полубесконечных пластин из диэлектрика с большим потерями так же, как было получено решение для параллелепипеда из проводника. Само собой разумеется, что полученные результаты совпадают с решением для случая идеального проводника, если считать удельную электрическую проводимость бесконечно большой. В качестве характерной особенности предлагаемого метода, по-видимому, можно указать на то, что этот метод, так же как и метод в случае параллелепипеда из проводника, оказывается чрезвычайно эффективным в применении к телам с поперечным сечением в виде продолговатого прямоугольника, большая сторона которого сравнительно велика по отношению к длине волны. Конечно, в случае больших размеров тел приближение геометрической оптики и приближение физической оптики могут практически применяться в качестве наиболее простых методов, однако, для того, чтобы знать в каком диапазоне размеров эти приближения являются верными, необходимо выполнить точные расчеты и провести эксперименты. В данной работе приводятся также и результаты модельных экспериментов, в которых использовались микроволны; проведено сравнительное изучение с результатами расчетов. Что касается среды с большими потерями, то в параллелепипеде закреплялся бетон, а в качестве проводника использовалась алюминиевая пластина, изготовленная в виде параллелепипеда.
На рис.1 представлено схематическое изображение параллелепипеда и геометрические данные рассматриваемой задачи. В данном случае исследуется задача рассеяния (двухмерная) плоской волны (Е-волны), падающей на параллелепипед из диэлектрика с большими потерями под углом к оси х. Ширина параллелепипеда равна 2а, толщина - 2b. Считаем, что изменение во времени описывается фактором .
Рис.1. Схематическое изображение данных задаче
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Полное электромагнитное поле (t), рассеянная волна (S) и падающая волна (i) связаны следующим соотношением:
( 1 )
Считаем, что падающая плоская волна в рассматриваемой задаче может быть задана в следующем виде:
( 2 )
Здесь: , - диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость в вакууме.
В силу строения рассеивающего тела (двухмерности задачи) плоскость поляризации неизменна, уравнения Максвелла можно записать
в следующем виде:
(3)
Здесь индекс j=0 относится к волновому уравнению в вакууме, а j=1 - к волновому уравнению в среде с потерями. Кроме того, величины , представляют собой диэлектрическую проницаемость и удельную электрическую проводимость среды с потерями, обозначает комплексную относительную диэлектрическую проницаемость.
Решение уравнений (3) в данной задаче можно отыскивать так, чтобы удовлетворялись следующие граничные условия:
(В1) условия излучения вовне при r ;
(В2) непрерывность при | y |=b ;
(В3) непрерывность при | x |=a, | y |=b ;
(В4) непрерывность при | y |=b ;
(В5) условия концевой точки при | x |=a , | y |=b .
При решении задачи используется преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье, которые определяются ниже следующим образом:
(4)
Здесь контур интегрирования С в обратном преобразовании представляет собой контур интегрирования в интеграле с бесконечными пределами, находящийся в общей области Д , которая может быть получена на основании предположения о том, что в вакууме имеются незначительные потери (JmK0<0) (область Д, не являющаяся общей, обусловлена существованием полюса=0, сопутствующего падающей волне).
Рис.2. Плоскость комплексной переменной и контур интегрирования С
ФУРЬЕ-КОМПОНЕНТЫ РАССЕЯНОЙ ВОЛНЫ
Для проведения исследования дальше разложим рассеянную волну на три электромагнитные волны следующим образом:
, (5)
причем считаем, что каждая электромагнитная волна при | y | b удовлетворяет следующим соотношениям:
(6)
Здесь: L(x) - ступенчатая функция:
(7)
Смысл индексов, которыми снабжены каждая из электромагнитных волн, как видно из формул (6), определяющих эти электромагнитные волны, заключается в следующем. Нижний индекс «0»соответствует тому, что поле удовлетворяет волновому уравнению в вакууме, а индекс «1» - тому, что поле удовлетворяет волновому уравнению в среде с потерями. Другими словами, эти индексы соответствуют значениям индекса j=0, 1 в уравнениях (3). Кроме того, верхний значок (+) указывает на то, что данное поле имеет смысл только при x >a, а значок (-) - на то, что рассматриваемое поле имеет смысл только при x <-a. В силу этих определений делаются особенно ясными аналитические свойства Фурье-компонент каждой электромагнитной волны и становится возможным выполнение исследования, основанного на теоретико-функциональных рассуждениях.
Найдем теперь Фурье-компоненты рассеянной волны. Прежде всего посредством перехода к прямому преобразованию Фурье в волновом уравнении (3) при | y | b можно получить следующее уравнение:
(8)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничным условиям (В1), (В2), может быть записано следующими образом:
(9)
Считаем здесь, что ветвление выбирается условием . Кроме того, неизвестные функции представляют собой, как показывают приводимые ниже формулы, Фурье-компоненты рассеянной волны при | y |=b. Наконец, точка представляет собой полюс, происходящий от падающей волны:
(10)
(11)
Здесь значок справа у неизвестной функции указывает на то, что в случае значка «+» эта функция регулярна в верхней полуплоскости ( в области U ), а в случае значка « - » рассматриваемая функция регулярна в нижней полуплоскости ( в области L ). В дальнейшем используется этот способ обозначений.
С другой стороны, при | y | b существует разрыв в среде. В результате выполнения прямого преобразования Фурье в волновом уравнении (3) оно превращается в следующие дифференциальные уравнения неодинакового порядка:
(12)
Здесь «вынужденные» члены
1 2 3 4
|
|
|
|
 |
На сайте: |
, ,
|
